Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» кафедра автоматизації теплових та хімічних процесів / Звіт до лабораторної роботи №6 з дисципліни: «Теорія автоматичного керування» на тему: дослідження стійкості лінійних систем автоматичного регулювання  Львів 2011р. а) Дослідження стійкості САР за допомогою критерію Гурвіца Завдання: дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з П-регулятором, структурна схема якої показана на рис.1. Функція передачі об’єкту регулювання
. Функція передачі автоматичного П-регулятора
, де kp – коефіцієнт передачі регулятора. Для дослідження стійкості САР за критерієм Гурвіца необхідно отримати характеристичне рівняння замкнутої САР. Функція передачі заданої САр має вигляд
Характеристичне рівняння одержимо, прирівнявши знаменник отриманої функції передачі до нуля.
Тобто для досліджуваної системи a3=121, a2=22, a1=1, a0=0.5kp. Як бачимо, всі коефіцієнти є одного знаку при будь-яких значеннях коефіцієнта П-регулятора, отже необхідна умова стійкості виконується. Для визначення умов стійкості сформуємо головний визначник Гурвіца
Знайдемо критичне значення коефіцієнта передачі
П-регулятора, при якому система буде знаходитися на границі стійкості.
Змоделюємо досліджувану САР в середовищі Simulink; / Перехідна функція при критичному значенні
/ Перехідна функція є коливною із незникаючими коливаннями. А=2.75, період коливань 69 с. Перехідна функція при критичному значенні
/ Перехідна функція є коливною із незникаючими коливаннями.
період коливань 76 с. Перехідна функція при критичному значенні
/
період коливань 65 с. Висновок: Розраховане значення параметра настроювання П-регулятора kp=0,36 дійсно виводить систему на границю стійкості. Якщо kp=0,288 САР стає стійкою, а якщо kp=0,432 то САР стає нестійкою. б) Дослідження стійкості САР за допомогою критерію Найквіста Завдання: Об’єктом дослідження в другій частині лабораторної роботи є та сама САР, що і в першій частині. Задане значення запасу стійкості САР σ=0,4. Задані зміни параметрів ОР: kOP1=1.2·k (збільшення коефіцієнта передачі ОР на 20%) За допомогою критерію Найквіста розрахувати критичне значення параметра настроювання П-регулятора, а також таке його значення, що забезпечує заданий запас стійкості САР. Дослідити перехідну функцію САР із заданим запасом стійкості, а також дослідити вплив збільшення коефіцієнта передачі ОР. Для того щоб спростити знаходження виразів частотних характеристик, функцію передачі об’єкта регулювання доцільно представити, як добуток функцій передачі інтегрування та двох аперіодичних ланок, тобто представити послідовним з’єднанням цих ланок.
Рис.2. Структурна схема досліджуваної САР. Визначимо необхідні амплітудно- і фазочастотні характеристики. Відомо, що АЧХ послідовного з’єднання елементів дорівнює добутку амплітудно-частотних характеристик елементів, що складають з’єднання, а ФЧХ – сумі їх фазочастотних характеристик. Відомо, що АЧХ і ФЧХ об’єкту регулювання матимуть вигляд
;
АЧХ і ФЧХ П-регулятора:
;
Знайдені вирази характеристик запишемо у систему рівнянь.
З другого рівняння системи визначимо частоту ωπ а з першого – критичне значення коефіцієнта передачі П-регулятора
Друге рівняння системи, як ми бачимо, аналітично не розв’язується, тому значення ωπ знайдемо числовим методом із застосуванням функції fzero в Matlab. Для розрахунку параметрів, при яких система буде на границі стійкості, та побудови АФХ виконаємо наступну програму в Matlab: clc wp0=1; wpi=fzero('fff',wp0), si=0.4; A1=0.5/sqrt(1+wpi^2*121); A2=1/sqrt(1+wpi^2*121); A3=1/wpi; kr=1/A1/A2/A3, kr1=(1-si)/A1/A2/A3, w=[0:0.01:5]; A1=0.5./sqrt(1+w.^2.*121); A2=1./sqrt(1+w.^2.*121); A3=1./w; A4=kr; fi1=-atan(w*11); fi2=-atan(w*11); fi3=-pi/2; fi4=0; A=A1.*A2.*A3.*A4; fi=fi1+fi2+fi3+fi4; w=[0:0.01...